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Matemática 51

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 6 - Integrales

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4. Calcular.
d) ∫xcos⁡(3x+1)dx\int x \cos (3 x+1) dx

Respuesta

Usamos la sustitución u=3x+1u = 3x + 1. Entonces, du=3 dxdu = 3 \, dx o dx=13 dudx = \frac{1}{3} \, du.
La integral se convierte en:
∫xcos⁡(3x+1) dx=∫u−13cos⁡u⋅13 du \int x \cos(3x + 1) \, dx = \int \frac{u - 1}{3} \cos u \cdot \frac{1}{3} \, du
Simplificamos la constante:
=19∫(u−1)cos⁡u du = \frac{1}{9} \int (u - 1) \cos u \, du
Usamos la integración por partes para resolver ∫ucos⁡u du\int u \cos u \, du. Sea v=uv = u y dw=cos⁡u dudw = \cos u \, du.
Entonces, dv=dudv = du y w=sin⁡uw = \sin u.
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
∫ucos⁡u du=usin⁡u−∫sin⁡u du \int u \cos u \, du = u \sin u - \int \sin u \, du
La integral de sin⁡u\sin u es −cos⁡u-\cos u:
=usin⁡u+cos⁡u+C = u \sin u + \cos u + C
Entonces, la integral original se convierte en:
19∫(ucos⁡u−cos⁡u) du=19(∫ucos⁡u du−∫cos⁡u du) \frac{1}{9} \int (u \cos u - \cos u) \, du = \frac{1}{9} \left( \int u \cos u \, du - \int \cos u \, du \right)
Sustituimos la integral de ucos⁡uu \cos u que encontramos antes:
=19(usin⁡u+cos⁡u−sin⁡u)+C = \frac{1}{9} \left( u \sin u + \cos u - \sin u \right) + C
Volvemos a reemplazar u=3x+1u = 3x + 1:
=19((3x+1)sin⁡(3x+1)+cos⁡(3x+1)−sin⁡(3x+1))+C = \frac{1}{9} \left( (3x + 1) \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) - \sin (3x + 1) \right) + C =19((3x+1)sin⁡(3x+1)−sin⁡(3x+1)+cos⁡(3x+1))+C = \frac{1}{9} \left( (3x + 1) \sin (3x + 1) - \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) \right) + C
=19(3xsin⁡(3x+1)+cos⁡(3x+1))+C = \frac{1}{9} \left( 3x \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) \right) + C
Por lo tanto,
∫xcos⁡(3x+1) dx=19(3xsin⁡(3x+1)+cos⁡(3x+1))+C \int x \cos (3 x+1) \, dx = \frac{1}{9} (3x \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1)) + C
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