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Matemática 51
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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MATEMÁTICA 51 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
4.
Calcular.
d) $\int x \cos (3 x+1) dx$
d) $\int x \cos (3 x+1) dx$
Respuesta
Usamos la sustitución \(u = 3x + 1\). Entonces, \(du = 3 \, dx\) o \(dx = \frac{1}{3} \, du\).
Reportar problema
La integral se convierte en:
$
\int x \cos(3x + 1) \, dx = \int \frac{u - 1}{3} \cos u \cdot \frac{1}{3} \, du
$
Simplificamos la constante:
$
= \frac{1}{9} \int (u - 1) \cos u \, du
$
Usamos la integración por partes para resolver \(\int u \cos u \, du\). Sea \(v = u\) y \(dw = \cos u \, du\).
Entonces, \(dv = du\) y \(w = \sin u\).
Aplicamos la fórmula de integración por partes:
$
\int u \cos u \, du = u \sin u - \int \sin u \, du
$
La integral de \(\sin u\) es \(-\cos u\):
$
= u \sin u + \cos u + C
$
Entonces, la integral original se convierte en:
$
\frac{1}{9} \int (u \cos u - \cos u) \, du = \frac{1}{9} \left( \int u \cos u \, du - \int \cos u \, du \right)
$
Sustituimos la integral de \(u \cos u\) que encontramos antes:
$
= \frac{1}{9} \left( u \sin u + \cos u - \sin u \right) + C
$
Volvemos a reemplazar \(u = 3x + 1\):
$
= \frac{1}{9} \left( (3x + 1) \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) - \sin (3x + 1) \right) + C
$
$
= \frac{1}{9} \left( (3x + 1) \sin (3x + 1) - \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) \right) + C
$
$
= \frac{1}{9} \left( 3x \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1) \right) + C
$
Por lo tanto,
$
\int x \cos (3 x+1) \, dx = \frac{1}{9} (3x \sin (3x + 1) + \cos (3x + 1)) + C
$